La formule sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] est l’une des identités les plus utilisées en linéarisation, et pourtant elle concentre une part disproportionnée des erreurs en exercice. Le problème ne vient presque jamais du calcul lui-même, mais du choix de formule en amont. Nous détaillons ici les points de méthode que les corrigés classiques passent sous silence, avec des exercices résolus pas à pas.
Choisir entre sin a cos b et cos a sin b : le piège de l’ordre des facteurs
La confusion la plus fréquente dans les produits trigonométriques tient en une inversion. Poser sin a cos b alors que l’expression à transformer correspond à cos a sin b change le signe du second terme dans la décomposition en somme.
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Rappel des deux formules à distinguer :
- sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] – la somme des deux sinus, avec un signe plus entre les deux termes
- cos a sin b = ½[sin(a+b) – sin(a-b)] – même structure, mais le second terme porte un signe moins
- Pour vérifier laquelle appliquer, identifiez quel angle est argument du sinus et lequel est argument du cosinus avant toute transformation
Un test rapide : substituez des valeurs simples (a = π/2, b = 0) dans votre résultat. Si le membre de gauche et le membre de droite ne coïncident pas, vous avez inversé la formule.
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Exercice résolu : transformer sin(3x) cos(2x)
L’angle a est 3x (celui dans le sinus), l’angle b est 2x (celui dans le cosinus). On applique directement sin a cos b :
sin(3x) cos(2x) = ½[sin(3x+2x) + sin(3x-2x)] = ½[sin(5x) + sin(x)].
Vérification : pour x = π/6, sin(π/2) cos(π/3) = 1 × ½ = ½. Le membre de droite donne ½[sin(5π/6) + sin(π/6)] = ½[½ + ½] = ½. Les deux côtés concordent.
Exercice piège : transformer cos(4x) sin(x)
Ici l’angle dans le cosinus est 4x et l’angle dans le sinus est x. Ce n’est pas sin a cos b mais cos a sin b, donc :
cos(4x) sin(x) = ½[sin(4x+x) – sin(4x-x)] = ½[sin(5x) – sin(3x)].
L’erreur typique consiste à écrire un signe + au lieu du signe -, ce qui donne un résultat faux sans que le calcul paraisse incohérent à première lecture. Seule la vérification numérique révèle le problème.
Linéarisation de sin a cos b : méthode et erreurs de découpage
La linéarisation consiste à exprimer un produit de fonctions trigonométriques sous forme de somme. Pour sin a cos b, la formule produit une somme de sinus. Pour un produit cos a cos b, la formule produit une somme de cosinus. Mélanger les deux familles est une source d’erreur classique en exercice de bac.
Nous recommandons de procéder en trois temps systématiques :
- Identifier la nature du produit (sin × cos, cos × cos, sin × sin) avant de chercher la formule
- Écrire la formule générique correspondante, puis substituer les valeurs de a et b
- Vérifier le résultat avec une valeur numérique simple (multiples de π/6 ou π/4)
- Ne jamais simplifier avant d’avoir vérifié la cohérence des signes
Exercice : linéariser sin²(x) cos(x)
On réécrit d’abord sin²(x) cos(x) = sin(x) × sin(x) cos(x). On applique sin a cos b avec a = x et b = x sur le produit sin(x) cos(x) :
sin(x) cos(x) = ½[sin(2x) + sin(0)] = ½ sin(2x).
Puis sin²(x) cos(x) = sin(x) × ½ sin(2x) = ½ sin(x) sin(2x). On passe maintenant à la formule produit sin × sin :
sin(x) sin(2x) = ½[cos(x-2x) – cos(x+2x)] = ½[cos(-x) – cos(3x)] = ½[cos(x) – cos(3x)].
Résultat final : sin²(x) cos(x) = ¼[cos(x) – cos(3x)]. L’erreur fréquente ici est d’appliquer la formule sin a cos b directement au produit à trois termes sans le décomposer en étapes.
Formules d’addition et produits : ne pas confondre les deux familles
Les formules d’addition (sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b) et les formules de produit (sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)]) sont des identités distinctes qui s’utilisent dans des directions opposées. Les formules d’addition servent à développer. Les formules de produit servent à linéariser.
L’erreur de choix de formule survient quand l’élève tente de linéariser en développant, ou de développer en linéarisant. Le résultat n’est pas faux en soi, mais la complexité du calcul explose et mène à des impasses.
Exercice : calculer la valeur exacte de sin(π/12)
On écrit π/12 = π/3 – π/4. On applique la formule d’addition sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b :
sin(π/12) = sin(π/3) cos(π/4) – cos(π/3) sin(π/4) = (√3/2)(√2/2) – (½)(√2/2) = √6/4 – √2/4 = (√6 – √2)/4.
Ici, la formule de produit sin a cos b serait inutile : on ne part pas d’un produit à transformer en somme, mais d’un sinus d’une différence d’angles à décomposer en valeurs connues. Identifier le sens de la transformation (produit vers somme, ou angle composé vers angles simples) est la compétence qui distingue un corrigé mécanique d’un raisonnement maîtrisé.
Vérification systématique des résultats en trigonométrie
Aucun corrigé ne devrait s’arrêter à la dernière ligne de calcul. La vérification numérique prend moins d’une minute et détecte la majorité des erreurs de signe.
Prenez une valeur d’angle qui rend le calcul mental possible : x = 0, x = π/6, x = π/4. Substituez dans l’expression de départ et dans le résultat. Si les deux valeurs diffèrent, l’erreur se situe presque toujours dans le signe de la formule choisie ou dans l’identification de a et b.
En préparation d’épreuve, cette habitude de vérification transforme des exercices de linéarisation en points quasi garantis. La difficulté des produits trigonométriques n’est pas calculatoire : elle est décisionnelle, dans le choix de la bonne formule au bon moment.
